Нормално (Гаусово) разпределение закон

Определение. Нормалното разпределение се нарича непрекъсната случайна променлива, която описва плътността на вероятността

Нормално разпределение се нарича още законът на Гаус.

Нормално разпределение е в центъра на теорията на вероятностите. Това се дължи на факта, че този закон се проявява във всички случаи, в които случайна променлива е резултат от много различни фактори. За нормално разпределение се приближава всички други закони на разпределение.

Човек може лесно да се покаже, че параметрите и. принадлежащи към плътността на разпределение, съответно, са средното и стандартното отклонение на случайната променлива X.

Намираме функция F (х) дистрибуция.

Плътност парцел на нормалната крива на разпределение се нарича нормално или Гаусово крива.

Нормално крива има следните свойства:

1) функция се определя по цялата ос.

2) Когато функцията на разпределение на х отнема само положителни стойности.

3) х-оста е хоризонталното асимптота на графиката на плътността на вероятността, като при неограничен растеж на абсолютната стойност на х аргумент. стойност на функцията клони към нула.

4) Да се ​​намери до екстремум на функцията.

защото когато у '> 0 за х м. след това при функцията на точка х = т има максимална равни.

5) функция е симетрична спрямо линия х = а. защото разлика

(X - а) е част от функцията на разпределение на плътността в квадрат.

6) За инфлексните точки на графиката намерим втората производна на функцията на плътността.

Когато X = М +, и х = М - S, втората производна е нула, и при преминаване през тези точки промени знак, т.е. в тези пунктове функцията има инфлексия.

В тези точки стойност на функция.

Построява функцията за плътност.

Графиките за т = 0 и три възможни стойности за стандартно отклонение S = 1, и = 2 и S = ​​7. Както може да се види, с увеличаване на стойностите на стандартното отклонение графиката става плосък, и максималната стойност се намалява ..

Ако> 0, сюжетът ще се движат в положителна посока, ако са добре <0 – в отрицательном.

Когато а = 0 и S = ​​1 се нарича нормализираната крива. Уравнението на нормализира кривата:

За краткост, казват NE X подчинява на N (m, S), т.е. X

N (m, S). Параметрите м и те са еднакви с основните характеристики на разпространение: MX = m = S = SX. Ако NE X

N (0, 1), тя се нарича стандартизиран нормалната стойност. FR стандартизиран нормалната стойност, наречена функция Лаплас и означен като F (х). Тя може да се използва за изчисляване на вероятностите интервал за нормално разпределение N (m, S):

В решаването на проблемите на нормално разпределение често се налага да се използват таблични стойности на функцията на Лаплас. Тъй като функцията на Лаплас на връзка Р (Х) = 1 - F (х). достатъчно е да има функция таблица стойности F (х) само за положителни стойности на аргумента.

За вероятността за контакт с симетрично спрямо средната интервал, формулата: Р (| X - MX |

Централните моменти от нормалното разпределение отговарят на рекурсия равенство: млн + 2 = 2 Mn (п + 1) и. п = 1, 2. Това означава, че всички странно поръчка централните моменти са равни на нула (от m1 = 0).

Нека да намерим вероятността за случайна променлива хит, разпределени в рамките на нормалното закона, в даден интервал.

защото интеграл не може да бъде изразена по отношение на елементарни функции, а след това се въведе функцията

Той призова Лаплас неразделна функция или вероятност.

Стойностите на тази функция за различни стойности на х и се преброяват в специални таблици.

По-долу е графика лапласовата функция.

функция на Лаплас има следните свойства:

функция на Лаплас се нарича още функцията на грешката, и посочва ERF х.

Все още се използва функцията за нормализирана Лаплас, който е свързан с функцията на уравнението на Лаплас:

По-долу е графика, показваща нормализира функцията на Лаплас.

При разглеждане на нормалното разпределение се откроява важна специален случай, известен като правилото за три сигма.

Пишем вероятността отклонението на нормално разпределена случайна променлива от очакваната стойност е по-малко от предварително определен D:

Ако вземем D = 3 мастни киселини, ние получаваме помощта на таблици с функцията на Лаплас:

Т.е. вероятността случайна променлива отклонява от своя математически очаквания с количество по-голямо от три пъти стандартното отклонение е практически нула.

Това правило се нарича върховенството на три сигма.

Не практикуват се смята, че ако по някаква - всяка случайна променлива се извършва три сигма правило, тази случайна променлива има нормално разпределение.

Пример. Влакът се състои от 100 вагони. Теглото на всеки автомобил - случайна променлива нормално разпределени със средно = 65 и m и стандартно отклонение S = 0,9 m локомотив може да състав тегло не повече от 6600 m, в противен случай е необходимо да се свържете втория локомотив .. Намерете вероятността, че не се изисква втори локомотив.

Вторият двигателят не се изисква, ако отклонението от очакваното тегло на състава (100 х 65 = 6500) не надвишава 6600-6500 = 100 m.

защото тегло на всяка кола има нормално разпределение, а след това теглото на общия състав също ще бъде нормално разпределение.

Пример. А нормално разпределена случайна променлива X се определя от параметрите - а = 2 - очакването, и S = ​​1 - стандартно отклонение. Задължително да напише плътността на вероятността и изграждане си графика, намери вероятността, че X заема стойност в интервала (1; 3), намери вероятността, че X ще се отклонява (абсолютна стойност) от очакването на не повече от два.

Плътността на разпределение е, както следва:

Ние считаме, вероятността за случайна стойност, попадаща в обхвата (1, 3).

Ние считаме, вероятността от случайно отклонение от очаквана стойност с количество, не по-голямо от 2.

Същият резултат може да се получи с помощта на нормализира функцията на Лаплас.

Лекция 8 Законът за големите числа (Част 2)

лимит теорема Централната (обща формулировка и формулировката за частни независими и идентично разпределени случайни величини).

Законът за големите числа под формата на Chebyshev.

Концепцията на честотата на събитието.

Статистическа разбиране на вероятност.

Законът за големите числа под формата на Бернули.

Проучването на статистически закономерности разкри, че при определени условия общото поведение на голям брой случайни величини почти губи случаен характер и се превръща в логическа (с други думи, случайни отклонения от някои средна поведение неутрализират взаимно). По-специално, ако ефектът от сбора на отделните термини е равномерно малка, сумата на разпределението е близо до нормалната закона. Математическият формулирането на тази декларация е дадена в теорията на групите, наречена закона за големите числа.

Закон за големите числа - общия принцип, чрез комбинираното въздействие на случайни фактори, водещи до някои много общи условия, резултатът е почти не зависи от случайността. Първият пример за този принцип може да служи като честота конвергенция възникване на случаен събитие с вероятност с нарастващ брой тестове (често използвани в практиката, например, като се използва честотата на възникване на качеството респондент в пробата като оценка на проба, съответстваща вероятности).

Същността на закона за големите числа е. че голям брой независими експеримента, честотата на настъпване на събитие, в близост до доверието към него.

Централна Limit Теорема (CLT) (в AM Ляпунов формулиране идентично разпределени CB). Ако взаимно независими SW X1. X2. Xn. имат същия закон разпределение с крайни числени характеристики М [Xi] = М и D [Xi] = S 2. тогава когато п ® ¥ разпределение право CB произволно близки до нормално разпределение N (N × m,).

Следствие. Ако в Теорема ST. след това, когато п ® ¥ разпределение право CB Y произволно близо до нормално разпределение N (m, S /).

Теорема де Moivre-Лаплас. Нека SW K - броят на "успехи" в п схема на Бернули изпитания. Тогава за п ® ¥ и фиксирана стойност на вероятността за "успех" в един тест разпределение право р SV к произволно близо до нормално разпределение N (п х р,).

Следствие. Ако състоянието на Теорема K вместо помисли NE NE K / п - честотни "успехи" в п от Бернули проучвания, разпределителни му в Закона н ® ¥ и фиксирана стойност на р получава произволно близо до нормално разпределение N (Р,).

Забележка. Нека SW K - броят на "успехи" в п схема на Бернули изпитания. разпределение закон е биномно закон CB. След това в продължение на п ® ¥ биномиално закон има две маргинални разпределения:

Raspredelenie Puassona п (когато п ® ¥ и л п = х р = конст);

п Гаусово разпределение N (п х р,) (когато п ® ¥ и р = конст).

Пример. "Успехът" вероятност за един опит само р = 0,8. Колко трябва да похарчите за тестване на вероятност за най-малко 0.9 може да се очаква, че наблюдавания дял на "успех" в схемата на Бернули проучвания отклонява от вероятността р е не повече от д = 0,01?

Решение. За сравнение, ние решим проблема по два начина:

а) Въз основа на второто неравенство Chebyshev, ние имаме:

б) С помощта на теоремата на де Moivre-Лаплас, и като отбелязва, че ако CB Y

N (m, S), ние получаваме:

Затова :. т.е. почти четири пъти по-малко.

Така получена стойност не е толкова голям, че формулата на грешка използва може да се пренебрегне.

Задача 2. С укрепление на банда враг извършва залп от 100 броя. Когато стрелят такова оръжие от един очакван брой резултати е 2, и стандартното отклонение на броя на посещенията, равен на 1,5. Намери приблизителна вероятност, че в групата на вражеските укрепления, ще намалее от 180 до 220 черупки.

Проблем 3. противника атаки съблекат укрепление използване настъпването на 50-цистерни. Вероятността за бракуването на резервоарите в тази битка е 0.4. Ако е деактивиран от най-малко 35% от резервоара, врагът спира своята офанзива. За да намерите вероятността, че врагът отказва да атакува.

Следващите твърдения и теореми са в основата на законите под общото наименование на закона за големите числа.

Първият неравенството Chebyshev. Ако X ³ 0 NE има ограничен стойност на m = М [X], след това за всяка д> 0 е вярно:

Вторият (основна) неравенството Chebyshev му. Ако NE има крайни стойности х т = М [X] и S 2 = D [X], след това за всяка д> 0 е вярно:

Последователност е X1. X2. Xn. Това се нарича конвергентен в вероятност като п ® ¥ NE X (символ: когато п ® ¥), ако за всяко произволно малък д> 0 притежава. или, с други думи, за всяко произволно малък брой д> 0 и г> 0 съществува брой к, така че за всички п> к следното условие:

Теорема (Закон за големите числа под формата на Chebyshev). Ако взаимно независими SW X1. X2. Xn. имат крайни стойности М [Xi] = ми и D [Xi] = SI 2 £ и 2. за всяка д> 0 следното:

или където п ® ¥.

Следствие. Ако състоянието на х1 теорема SV. Xn. имат същата стойност М [Xi] = М, след това за всяка д> 0 следното:

или където п ® ¥.

Теорема (Закон за големите числа под формата на Бернули). Нека SW K - броят на "успехи" в п схема на Бернули изпитания. След това в продължение на п ® ¥ честота на "успех" се съсредоточава в вероятност да п, където р - вероятността за "успех" в един тест, т.е..:

Когато п ® ¥ или за всяка електронна