Ирационални числа какви са те и за какво се използва

Какво е ирационално число? Защо се наричат? Когато те се използват и какво представлява? Малцина могат да без колебание да се отговори на тези въпроси. Но в действителност, отговорите са доста прости, макар че не всички са необходими и в много редки случаи,

Същността и обозначението

Ирационални числа са безкрайни непериодични знака след десетичната запетая. Необходимостта да се въведе тази концепция се дължи на факта, че за да се отговори на новите предизвикателства, възникващи е недостатъчно предварително съществуващите концепции за реални или реални, цели, естествени и рационални числа. Например, за да се изчисли квадрат стойност е 2, е необходимо да се използва не-периодична безкраен десетична дроб. В допълнение, много прости уравнения имат също не е решение, без въвеждането на концепцията за ирационални числа.

Този комплект е обозначена като I. И тъй като стана ясно, тези стойности не могат да бъдат представени като проста дроб, в числителя на която е цялото, а знаменателят - естествено число.

За първи път един или друг начин с това явление се сблъскват индийски математици в VII век преди новата ера, когато е установено, че квадратните корени на определени количества не могат да бъдат ясно идентифицирани. Първият доказателство за съществуването на такива номера се кредитира Питагоровата Hippasus, който я е направил в изследването на равнобедрен правоъгълен триъгълник. Сериозен принос в изучаването на този набор са довели дори някои учени, които са живели преди Христа. Въвеждането на понятието ирационални числа доведе до преразглеждане на съществуващата математическа система, която е защо те са толкова важни.

Произход на името

Ако съотношението на латински - е "удар", "нагласа", префикс "IR"
прикрепен към дума точно обратното. По този начин, на името на набор от тези номера показва, че те не могат да се корелира с цяло число или фракционна, има място. Това следва от тяхното естество.

Място в генералното класиране

Ирационални числа, заедно с рационалното се отнася до група от реален или виртуален, което от своя страна принадлежат към комплекса. Подмножества, обаче, не се прави разграничение между алгебрични и трансценденталната вид, които ще бъдат обсъдени по-долу.

Защото ирационалните числа - това е част от набор от реални, а след това се прилагат към тях всичките им свойства, които се изучават в аритметична (наричани още основни закони алгебрични).

А + В = б + а (commutativity);

(А + В) + с = а + (б + в) (асоциативност);

а + (-а) = 0 (наличието на добавка обратен);

AB = ба (комутативен право);

(АЬ) С = а (бв) (Distributivity);

а (б + в) = AB + AC (разпределителни право);

а х 1 / с = 1 (номерът на обратен на съществуване);

Сравнение също се извършва в съответствие с общите закони и принципи:

Ако> б и б> С, след това> С (съотношение преходност) и. т. г.

Разбира се, всички ирационални числа могат да бъдат превърнати с помощта на основните аритметични операции. Някакви специални правила в това.

В допълнение, на ирационалните числа, обхванати от аксиомата Архимед. В него се посочва, че за всеки две стойности на А и Б е вярно, че при приемането на мандат като достатъчен брой пъти, възможно е да победи б.

използването на

Въпреки факта, че в реалния живот не често трябва да се справят с тях, ирационални числа не дават сметка. Те са една голяма част, но те са практически невидими. Ние сме заобиколени от ирационалните числа. Примери, познати на всички, - броя пи, равни 3.1415926. или д, което е по същество основата на натуралния логаритъм, 2.718281828. В алгебра, тригонометрия и геометрия трябва да ги използвате постоянно. Между другото, най-известните стойността на "златното сечение", т.е. съотношението на колко от високо към ниско и обратно, както и

Отнася се за този набор. По-малко известни "сребро" - също.

На номер линия, те са много близки, така че между всеки две величини, обхванати от набор от рационално, ирационално е задължително да се случи.

До сега, има много нерешени проблеми, свързани с този комплект. Има критерии, като например ирационалността на мярката и нормалността на номера. Математиците продължават да изследват най-значимите примери за тяхната принадлежност към една или друга група. Така например, се приема, че е - нормалния брой, т.е., вероятността от възникване на запис си на различни цифри са същите ... Що се отнася до пи, а след това му относително дълъг процес на разследване. Мярка ирационалност наричан стойност, показва колко добре определен брой може да се изчисли приблизително чрез рационални числа.

Алгебрична и трансценденталната

Както вече споменахме, ирационални числа условно разделени на алгебрични и трансценденталната. Обикновено, тъй като, строго погледнато, класификацията се използва за разделяне на множеството В.

Под това наименование се крие комплексни числа, които включват действителните или реален.

Всички други реални числа, които не отговарят на това условие се наричат ​​трансценденталната. Този вид и са най-добре известни и вече споменатите примери - пи брой и естествен логаритъм основа напр.

Интересното е, че нито едното, нито втората първоначално са били отглеждани от математици като такива, тяхната ирационалност и трансцендентност е доказано през много години след тяхното откритие. За пи доказателство беше предоставена през 1882 г. и опростена през 1894 г., което сложи край на дебата за проблема с квадратура на кръга, което е продължило в продължение на 2500 години. Той все още не е напълно изяснен, така че съвременните математици имат работа за вършене. Между другото, първият достатъчно точна изчисляване на тази стойност трябваше Архимед. Преди него всички изчисления са твърде приблизителни.

За д (номер на Ойлер, или Нейпиър), доказателство за неговата трансцендентност е намерено през 1873 година. Той се използва при решаване на логаритмични уравнения.

Сред други примери - задължително стойности, косинус и допирателната за всички ненулеви алгебрични стойности.