максимални и минимални функции

Една точка се нарича максимална точка или минимална функция. ако в един квартал на или неравенство съответно. Стойности на функцията на точка нарича висока (или ниско) функция. Максимална и минимална на функция, наречена функция екстремум. Стойностите на аргумента, за които функцията е екстремна, наречени критични точки от първия вид.

За екстремни стойности на функцията, е необходимо да се намери производно и се равнява на нула, за решаване на уравнението. Корените на уравнението, както и момента, в който не съществува производната, са най-важните моменти от първия вид.

Ако знакът на деривата при преминаване през точката на преминаване от положителни към отрицателни, което е максималната точка. Ако знакът на деривата при преминаване през промените на точка от минус до плюс, че е минималната точка. Ако знакът не се променя, тогава няма екстремум точка.

Понякога е по-лесно да се проучи критичната точка в знака на втората производна. Ако критичната точка, когато първата производна е нула. че е минималната точка. Ако. това е максималната точка. Ако. след това да провери тази точка на първото производно.

Ако функцията е зададена по подразбиране. След това, за да се. равенството. Тук. и производни на функцията. намерено в предположението, че и да не зависи от ф. съответно. Решаването и. Ние считаме, критични точки. Extremum на функцията на критичната точка е знака на втората производна. Ако критичната точка. това е максималната точка. Ако. това е най-малко точка.

ПРИМЕР 1 Тест за екстремум на функцията.

Решение: Намираме производната и да го настроите равна на нула. Корените на това уравнение. Те са критични точки.

При преминаване през точката производно знак не се променя, тъй като този фактор е на квадрат, а при преминаване през промените на точкови подпише от минус до плюс. Така че, в момента на функция има минимум. Ние намираме на екстремните стойности на функцията, а именно минимума на функцията.

Пример 2. Изпитване на екстремум на функцията.

Решение: Намираме първата производна и да го настроите равна на нула. Корените на това уравнение. , Те са критични точки. Намерете втората производна и определяне на знака на втората производна на критичните точки - функцията е максимално; - функция има минимум; функция има минимум. Определяне на крайната стойност на функцията: - максимална функция; - минимум функция; - най-малко функции.

Пример 3 Тест за екстремум на функцията.

Решение: Намираме първата производна и се равняват на нула. Корените на това уравнение. Те са критични точки. Ние сме втората производна знак и определяне на критичните точки.

В точката на втората производна - функция има максимален. В точката на второ производно. Следователно, не е възможно да се прецени крайностите. Проверете за свободни стаи екстремум на първата производна. Защото, когато минава през точката на първата производна на знака не се променя, тогава няма екстремум точка.

Ние определя максималната стойност на функция точка.

Пример 4 Тест за екстремум на функцията.

Решение: Функцията се определя върху цялата реална ос. Намираме деривата. Ние приравняваме производната до нула и да намерят най-критичната точка. При преминаване през точката на производните промени знак минус до плюс следователно функцията точка има минимум.

Приравняването на нула знаменателя на производното, ние получаваме. Следователно, ние откриваме, критичната точка на функцията. в която производното не съществува. Очевидно е, че производното на точка. и производното на мястото. Следователно, налице е максималната точка на функцията.

Пример 5 Тест за екстремум на функцията.

Решение: Функцията е определено по подразбиране. Намери и. Производни кога. т.е. ,

Решаването на системата уравнения намираме критичен. Ние изчисляване на втората производна. Критичната точка. ако. и. ако. По този начин, функцията на минимум, а при максимално.

Намери максималните и минималните функции: