Колекция от проблеми алгебра
Линейни уравнения и неравенства I
§ 15 Някои от начините за доказване на неравенства
Докаже неравенството, съдържащи някои от буквите - е да се покаже, че той е удовлетворен от всички законови или специално определени стойности на тези писма.
Има различни начини за доказване на неравенства. Ние илюстрират някои от тези специфични примери.
Пример 1. докаже, че всяко положително номера а и б отговарят неравенството
където равенство държи единствено и само ако А = В.
1-ви начин. Помислете за разликата
Тя може да бъде намален до формата:
Ето защо. И това също така означава, че.
Знакът за равенство в уравнение (1) притежава единствено и само ако √ а - √ б = 0, т.е., когато а = б ..
2-ри път. Да приемем, че това неравенство е вярно. След това се умножи двете страни по 2, получаваме:
Носим 2 √ аб в лявата ръка:
И накрая, ние пренапише неравенството получена под формата на
Последното неравенство очевидно е вярно за всички положителни числа и и б. където равенство него се постига, ако и само ако а = б. По този начин, това неравенство ние намалихме до очевидната неравнопоставеност. Сега, производство на всички аргументи в обратен ред, ние ще докажем това неравенство.
За всеки, положителни числа а и б, ние имаме:
знака за равенство в този случай е, ако и само ако А = В. Прехвърляне - 2√ аб от дясната страна, ние се получи + б> 2√ аб. къде.
Това беше след като е трудно да се отгатне, че (1) е необходимо доказване на неравенството да се започне от очевидното неравенство (2). Ето защо ние трябва да се направи предварително предположение, че (1) е вярно, и да получите неравенство одобрение (2).
Пример 2 За да се докаже, че ако продуктът на положителни числа х и у е 1, а след това (1 + х) (1 + у)> 4.
Доказателство. Поставя само за да докаже неравенството
Също така е показано, че 1 + у> 2√ у. Срок от план за умножение на тези неравенства добиви:
Но състояние XY = 1. Следователно,
Докаже неравенство (№ 111-117):
118. мухите на въздухоплавателното средство от Москва и Киев се завърнали. В какво време на полета ще се осъществи по-бързо: в спокойни или когато ветрове от постоянна сила в посока на София - Киев?
119. Докажете, че половин периметъра на триъгълника над всяка от страните му.
120 *. Докаже неравенството
118. По-бързо в тихо време.