Фурие серия
Серията на Фурие на периодични функции с период 2π.
Серията Фурие позволява изучаване периодично (не периодично) функция, ги разлагане на компоненти. Променливи токове и напрежения преместване, скорост и ускорение на механизмите на коляновите и акустични вълни - това са типични примери за практическото приложение на периодичните функции в инженерни изчисления.
Фурие серия разширяване се основава на предположението, че всички имат практическата стойност на функцията в интервала -π ≤x≤ π може да се изразява под формата на сближаване тригонометрични серия (серия счита за събиращи ако последователността на частични суми, изготвени от членовете си):
Standard (= нормален) пост чрез sinx и cosx количество
Къде да варира от -π да пи коефициенти на Фурие серия се изчислява чрез формулата:
Коефициентите ао, на и се наричат млрд коефициентите на Фурие. и ако те могат да бъдат намерени, след серия (1) се нарича серия Фурие, съответстваща на F функция (х). За редица (1) член (а1 cosx + b1 sinx) се нарича първи или основен хармонична,
Друг метод за запис на брой - съотношението на използване acosx + bsinx = csin (х + α)
За редица (1) член (а1 cosx + b1 sinx) или С1 грях (х + α1) се нарича първи или основен хармонична, (а2 cos2x + b2 sin2x) или с2 грях (2х + α2) се нарича втора хармонична и така нататък.
За точно представяне на съставния сигнал обикновено изисква безкраен брой условия. Въпреки това, в много практически проблеми, само първите няколко условия са достатъчни, за да разгледа.
Разбиване на непериодични функции.
Ако е (х) функция не е периодична, то не може да бъде разширена в серия Фурие за всички стойности на х. Въпреки това, може да се определи Фурие серия представляващ функция във всяка ширина на диапазона 2π.
Ако посочите периодична функция, можете да създадете нова функция, изберете F стойности (х) е в определени граници, и да ги повтаря извън този диапазон, с интервал от 2π. Тъй като новата функция е периодична с период 2π, то може да се разшири в Фурие серия за всички стойности на х. Например, F функция (х) = х не е периодично. Въпреки това, ако е необходимо да се разшири в серия Фурие в диапазона от около да 2π, тогава този интервал е конструирана периодична функция с период на 2π (както е показано на фиг. По-долу).
За непериодични функции като е (х) = х, сумата от серията на Фурие е стойността на е (х) във всички точки на предварително определен обхват, но това не е равно на е (х) за точки извън обхвата. За броя на непериодични функции в Фурие 2π гама използват всички точно същата формула на коефициентите на Фурие.
Споменатите функция у = е (х) е четно. ако е (Х) = F (х) за всички стойности на х. Графики на дори функции винаги са симетрични около Y оста (т.е., огледален образ). Два примера на дори функции: у = 2 х и у = cosx.
Една функция у = е (х) е странно, ако е (Х) = - е (х) за всички стойности на х. Графики нечетни функции винаги са симетрични по отношение на произхода.
Много от функциите не са нито дори нито странни.
Серията Фурие на дори периодична функция е (х) с период 2π съдържа само условия с уют (т.е. не съдържа членове синуси) и може да включва постоянна план. Ето защо,
където коефициентите на Фурие серия,
Серията Фурие от нечетен периодична функция е (х) с период 2π съдържа само условия с Sines (т.е. не съдържа условия с уют).
където коефициентите на Фурие серия,
Ако функцията е дефинирана за диапазона, например от 0 до пи, а не само от 0 до 2P, тя може да бъде разширена в серия само синус или косинус Толо. Получената Фурие серия се нарича Фурие серия на половин цикъл.
Ако искате да получите разлагане на Фурие на половин работен цикъл косинус функция е (х) в интервала от 0 до π, е необходимо да се направи дори и периодична функция. Фиг. долу показва функция F (х) = Х, въз основа на обхвата от х = 0 до X = π. Като дори функция симетрично по отношение на оста на е (х), ние смятаме линията АВ, както е показано на фиг. по-долу. Ако приемем, че външната страна на разглеждания интервал получава триъгълна форма е периодична с период 2π, след това получената графиката показва изглед. Фиг. по-долу. Тъй като е необходимо да се разлага косинус преобразуване на Фурие, както и преди, ние изчисляваме коефициентите на Фурие AO и
Ако искате да получите разлагане на Фурие на половин работен цикъл задължително функция е (х) в интервала от 0 до π, е необходимо да се направи странна периодична функция. Фиг. долу показва функция F (х) = х, вграден в границите от х = 0 до X = π. Като нечетен функция симетричен за произхода, изграждане CD линия, както е показано на фиг. Ако приемем, че външната страна на разглеждания интервал Получената рампа сигнал е периодична с период 2π, крайната график е, както е показано на фиг. Тъй като е необходимо да се получи разширяване Furie половин цикъл задължително, както и преди, ние се изчисли коефициент на Фурие. б
Разширяването на периодична функция с период на L.
Периодичната функция е (х) се повтаря с увеличаване х в L, т.е. е (х + L) = F (х). Преходът от обсъжданите по-рано с период 2π функции с период L функции е съвсем проста, тъй като тя може да бъде постигнато чрез замяна на променливата.
За серия Фурие на е (х) в обхвата от -L / 2≤x≤L / 2, ще се въведе нов променлива ф по такъв начин, че F функция (х) има период на 2π по отношение на ф. Ако ф = 2πh / L, тогава х = -L / 2 за ф = -π и х = L / 2 за U = π. Също така, да е (х) = F (Lu / 2π) = F (ф). Фурие серия F (ф) се изчислява по формулата
Когато коефициентите на Фурие серия,
Въпреки това, често формула по-горе води до зависимост от х. Тъй ф = 2πh / L, средно, Du = (2π / L) DX, и границите интеграция - от -L / 2 до L / 2, вместо - π да π. Следователно, серията на Фурие за зависимостта на х е дадено от
където в диапазона от -L / 2 L / 2 коефициенти на Фурие серия,
(Границите на интеграция могат да бъдат заместени с всеки интервал на дължина L, например, 0 до L)
Серията на Фурие за половин вълна за функциите, посочени в диапазона от L ≠ 2π.
За заместване на U = πh / L диапазон от х = 0 до х = L съответства на интервал от ф = 0 до U = π. Ето защо, функцията може да се разшири в брой от само косинус или синус само, т.е. Редове на Фурие на половин цикъл.
Разлагане на косинус в интервала от 0 до L е на формата