Доказателството за неравенството

Докаже, че \ (х> 0 \) неравенство \ (1 + 2 \ LN х \ ле \).

Въвеждане функция \ на (е \ ляво (х \ дясно) = - 2 \ LN х - 1 \). Критичните точки: \ [г '\ наляво (х \ дясно) = - 2 \ LN х - 1> \ дясно) ^ \ нулевия >> = = 0,> \ \ \ \, \; - 2 >> = 0> \; \; \; \; \; - 2 = 0,> \; \; \; \; \; = 1> \; \; \; \; \; \] От трите критичните точки \ (х = -1 \) \ (х = 0 \) \ (х = 1 \) състояние \ (х> 0 \) отговаря само последната точка \ (х = 1 \). За лявата й производна е отрицателна, а в дясно - положителен. Следователно, в този момент функцията има минимум равна \ [г \ лявата (1 \ дясно) = с 1 - 2 \ LN: 1 - 1 = 0. \] По този начин, \ (е (х) \ GE 0 \) когато \ ( х> 0 \) (и е равна на нула в \ (х = 1 \)). В този случай, \ [- 2 \ LN х - 1 \ GE 0, \ \ \ \, \; \ СтрелкаНадясно \; \ ;. 1 + 2 \ LN х \ ле \]

Докаже, че \ (х> 0 \) неравенство \ (\ LN х \ ле х - 1 \).

Въвеждане функция \ на (е \ ляво (х \ дясно) = \ LN х - х + 1 \). Тази функция се определя с \ (х> 0 \). Неговата производно е равна \ [г '\ наляво (х \ дясно) = \ дясно) ^ \ нулевия> = \ Frac - 1. \] Когато \ (0 1 \) - отрицателна. Следователно, в точка \ (х = 1 \) функция \ (е (х) \) има максимален равна \ [г \ лявата (1 \ дясно) = \ LN: 1 - 1 + 1 = 0. \] По този начин, при \ (х> 0 \) неравенство \ [г \ наляво (х \ дясно) \ ле 0, \ \ \ \, \; \; \; \; \; \; \]

Докаже неравенството \ (\ голям \ Frac> \ normalsize \ ле \ LN \ голям \ Frac \ normalsize \ ле \ голям \ Frac> \) дава \ (0 1 + х \).

Разглеждане функция \ (е \ ляво (х \ дясно) = - х - 1 \) на. Ние го изследва с цел монотонност. Производното се изписва като \ [\ наляво (х \ дясно) = F '- х - 1> \ дясно) ^ \ нулевия> = - 1. \] Когато \ (х 0 \) - положителен (Фигура 1). Следователно функция \ (е (х) \) намалява \ (\ х 0). В точка \ (х = 0 \), тя има максимален. равна \ [г \ наляво (0 \ дясно) = - 0 - 1 = 0. \] Следователно функция \ (е (х) \) е положителен навсякъде освен в точка \ (х = 0 \). Резултатът е \ [г \ лявата (х \ дясно)> 0, \ \ \ \, \; - х - 1> 0,> \ \ \ \ \> 1 + х \; \; \ наляво (\ дясно)> \].

Докажете, че интервал \ на (\ наляво (> \ вдясно) \) неравенство \ (\ грях х + \ тен х> 2x \).

Интервал \ (\ наляво (> \ дясно) \) за променлив \ на (х \) съответства на интервал \ на ((0, 1) \) за променлив \ (Z \). Това променлива \ (Z \) е положителен, т.е. функция \ (е (х) \) в обхвата на \ (\ наляво (> \ дясно) \) нараства монотонно.

Тъй \ [г \ наляво (0 \ дясно) = \ грях 0 + \ тен с 0 - 2 \ cdot 0 = 0, \] След това, очевидно, в обхвата на \ (\ наляво (> \ дясно) \) функция \ на (е (х) \) е положителен. Следователно \ [\ грях х + \ тен х - 2 х> 0, \, \, \; 2x, \; \ х \ в \ наляво (> \ дясно)> \].