Доказателство за някои от неравенствата - studopediya

Нека разгледаме някои от доказателствата на неравенството. Методи за доказване са както следва:

- неравенство упражняван от трансформации на базата на свойствата на неравенство и запазване на еквивалентност, намаляване на неравенството, който е известен за справедливост;

- чрез еквивалентни трансформации очевидни или известни за намаляване на неравенството доказва неравенството;

- смесване на първия и втория методите, че се превръща в двете известни и доказано неравенството.

Примери за приложение илюстрират тези методи.

Пример. Нека докажем неравенството.

Доказателство. Всъщност, разликата. Очевидно е, че. Ето защо. където равенство се постига само когато. Неравенството е доказано.

Пример. Нека докажем неравенството.

Доказателство. Тъй като. , , тогава неравенството става :.

Това неравенство е квадратура до равностойността :. това е, че е очевидно.

Имайте предвид, че равенството се постига само когато броят и да имат един и същ знак, или поне един от тях е нула.

Пример. Нека докажем неравенството.

Доказателство. В действителност ,.

Така че един от двамата. Неравенството е доказано.

Пример. Нека докажем неравенството. ако.

Доказателство. Броят е средният брой и броя - на средна геометрична.

С други думи, ние показваме, че средната аритметична стойност от две не-отрицателни числа не са по-малки от на геометрична стойност.

За да докаже това смятаме, че разликата.

Ето защо. , освен това, равенство се постига само когато. което е възможно само когато. Неравенството е доказано.

Забележка. Концепциите на средноаритметичната стойност и средна геометрична да бъдат вписани и не-отрицателни числа този случай неравенство :. с равенство, само ако. Неравенството е доказано.

Пример. Нека докажем неравенството. и ако, освен това, равенство се постига само когато.

Доказателство. В действителност, числа са положителни. Ето защо, на средна аритметична стойност на числата, а не по-малко от геометрична стойност, един от двамата. равенство, само когато. това е, когато. тъй като и двете - положителен. Неравенството е доказано.

Пример. Нека докажем неравенството. ако. , с равенство, само ако.

Доказателство. В действителност,

Пример. Докажете, че.

Решение. Добавен три добре известно неравенство. , , Ние получаваме.

Пример. Докажете, че. ако.

Решение. Произведението на неравенство. , ,

Пример. Докажете, че. ако.

Решение. Ние използваме еквивалентността на неравенството. Неравенството е доказано.

В доказателство за някои от неравенствата удобен за използване стойности за подмяна на данни от друг.

Пример. Докажете, че. ако. ,

Решение. Поставянето. можем да запишем неравенство във формата. , еквивалентен известен.