Акорд и дъга
Ние доказваме, номера на теорема, за създаване на връзка между акорди и техните дъги в същата обиколка, или равни окръжности.
В този случай имаме в ума на дъгата, по-малко от полукръг.
Теорема 1. Равен дъга затегна равни акорди.
Нека дъга AB е равна на дъгата на Великобритания. Ние трябва да се докаже, че акорда е хорда AB SC (фиг. 314).
Доказателство. Присъединяване на краищата на акорда на окръжност с център - точка О. Получават триъгълник АОВ и CBS са равни, тъй като те имат две равни страни, съответно (един радиус кръг) и равен ъгъл сключен между тези страни (тези ъгли са равни, двете централни съответните равни дъги ). Следователно, AB = SC.
Теорема 2 (обратна). Равни акорди дръпнете заедно равни дъги.
Нека акорд AB е хорда IC. Ние трябва да докаже, че дъгата AB е равна на дъга SC (фиг. 314).
Доказателство. Присъединете се към краищата на акорди на окръжност с център - точка О. Получен триъгълник АОВ и CBS, съответно, са от три страни са равни. Ето защо, равни ъгли АОВ и SOC; но тези централен ъгъл съответните дъги АВ и CR; равнопоставеността на тези ъгли трябва да бъдат равни дъги: \ (\ послание = \ послание \).
Теорема 3. По-голямата дъга се договаря и по-акорд.
Нека дъга AB SK вече дъга (фиг. 315).
Ние трябва да докаже, че акорд AB вече акорд IC.
Доказателство. Преместете SC дъгата периферно, така че точка K е приведено в съответствие с точка А, а точка C е на позиция S "на дъгата AB Au между точките B, SC дъга ще позиционирате дъга AC" и SC акорди акорд ще позиционира AU ". Начертайте радиусите на точките А, В и С ". Капка от центъра O вертикалите OE и ОД на акорд AB и AC. " В триъгълника OFE OE сегмент - крак и DPOF сегмент - хипотенузата, така НА> OE, и следователно OD> OE.
Нека сега да разгледаме триъгълници ОПР и ОАЕ. В тези триъгълници хипотенузата OA цяло и крак подбедрицата OE OD, след като следствие на Питагоровата теорема крак върху крак AE АД. Но те представляват краката на половин акорди AB и AC ", това означава, че акорд AB и AC акорди вече". Благодарение на равни акорди на AC, така и във Великобритания се
AB> IC.
Теорема 4 (обратна). Big акорд и дърпа голяма дъга.
Нека акорда и голяма акорд IC.
Ние трябва да се докаже, че дъгата АВ SK вече дъга (фиг. 315). Между дъги AB и CS може да бъде само една от трите следните зависимости:
Но AB дъга не може да бъде по-малко от ЗК на дъгата, като че ли в права линия теорема акорд AB ще бъде по-малко от акорд IC, а това противоречи на хипотезата.
Arc AB не може да бъде равно на дъгата на Великобритания, тъй като тогава акорд AB равна на акорд IC, но също така е противоречие. Ето защо, \ (\ послание> \ послание \).
Собственост на дъги, сключен между успоредните акорди
Теорема. Arc, сключен между паралелни акорди са равни.
Нека акорд AB е успоредна на акорд CD (фиг. 316).
Ние трябва да се докаже, че \ (\ послание = \ послание \). Начертайте MN диаметър ⊥ AB. Тъй като CD || AB, по ⊥ CD MN.
Peregnom изготвяне MN на диаметър, така че дясната страна съвпадна с ляво.
След точка Б съвпада с точка А, тъй като те са симетрични по отношение на MN на оста (AB ⊥ MN от строителство и AK = KB).
По същия начин, точка D съвпада с точка С. От \ (\ бревис = \ бревис \).
Собственост на дъги, сключен между допирателната и паралелно акорд
Теорема. Arc, сключен между допирателната и паралелно eyhordoy равни.
Нека тангента акорд AB и CD са успоредни. Точка Е - допиране точка с линия AB обиколка О (320 Фиг.).
Ние трябва да се докаже, че \ (\ послание = \ послание \).
За да се докаже точката на допиране E свърже с центъра на кръга.
OE ⊥ AB, както и CD || AB, ⊥ CD на OE, и перпендикулярна на акорд, проведено от центъра на един и същи кръг, тя се разделя, образуваният дъгата на половина.
Ето защо, \ (\ послание = \ послание \).